KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 7 नियामक ज्यामिति ( Coordinate Geometry) Exercise 7.2
Exercise 7.2 - Question with Solution
Distance formula: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Question 1
निम्नलिखित point-pairs के बीच distance ज्ञात करें.
Solution
(i) (0,0), (-5,12)
d = sqrt((-5-0)^2 + (12-0)^2) = sqrt(25+144) = 13
(ii) (4,5), (-3,2)
d = sqrt((-7)^2 + (-3)^2) = sqrt(49+9) = sqrt(58)
(iii) (5,-12), (9,-9)
d = sqrt(4^2 + 3^2) = 5
(iv) (-3,4), (3,0)
d = sqrt(6^2 + (-4)^2) = sqrt(52) = 2sqrt(13)
(v) (2,3), (4,1)
d = sqrt(2^2 + (-2)^2) = 2sqrt(2)
(vi) (a,b), (-a,-b)
d = sqrt((-2a)^2 + (-2b)^2) = 2sqrt(a^2+b^2)
Question 2
Check करें कि (1,-1), (-5,7), (2,5) point (-2,3) से equidistant हैं या नहीं.
Solution
From P(-2,3):
PA = sqrt(3^2 + (-4)^2) = 5
PB = sqrt((-3)^2 + 4^2) = 5
PC = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20) = 2sqrt(5)
Since PA = PB but PC is different, three points are not equidistant from P.
Question 3
Solution
(i) sqrt((a-3)^2+(2-4)^2)=8
(a-3)^2+4=64 => (a-3)^2=60
a = 3 +/- 2sqrt(15)
(ii) Let second point = (x,9). Distance from (-2,3) is 10.
(x+2)^2 + 6^2 = 100 => (x+2)^2=64
x = 6 or -10
(iii) Distance between P(2,-3) and Q(10,y) is 10.
8^2 + (y+3)^2 = 100 => (y+3)^2=36
y = 3 or -9
Question 4
Solution
(i) d = a|t1-t2| sqrt((t1+t2)^2+4)
(ii) d = 2sqrt(a^2+b^2)
(iii) d = sqrt(2)|sin theta - cos theta|
Question 5
Solution
Let required point on x-axis be P(x,0).
Equate distances from both given points.
(i) P = (3,0)
(ii) P = (-1,0)
(iii) P = (-7,0)
Question 6
Solution
Let required point on y-axis be P(0,y).
Equate distances from given points.
(i) P = (0,-2)
(ii) P = (0,9)
Question 7
Solution
Distance formula से check करें: अगर AB + BC = AC हो, तो points collinear हैं.
(i) Collinear
(ii) Collinear
(iii) Collinear
(iv) Not collinear
Question 8
Solution
A(6,1), B(1,3), C(x,8)
AB = BC
AB^2 = (1-6)^2+(3-1)^2 = 29
BC^2 = (x-1)^2+(8-3)^2 = (x-1)^2+25
(x-1)^2+25 = 29
(x-1)^2 = 4
x = 3 or -1
Question 9
Solution
d = sqrt((a+r cos theta-a)^2 + (b+r sin theta-b)^2)
d = sqrt(r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta)
d = r sqrt(cos^2 theta + sin^2 theta) = r
Hence distance theta से independent है.
Question 10
Solution
(i) Points (cosec^2 theta,0), (0,sec^2 theta), (1,1) collinear हैं क्योंकि intercept form में x/cosec^2 theta + y/sec^2 theta = 1 और point (1,1) satisfy करता है.
(ii) Center (3,3) से (6,2), (0,4), (4,6) तक distance बराबर है.
Radius = sqrt(10)
Question 11-16
Solution
Q11: (i) x-y=3, (ii) x-y=2
Q12: (i) 3x+y=5, (ii) (a-b)/(a+b)=(x-y)/(x+y)
Q13: Right triangle, because AB^2+AC^2=BC^2.
Q14: Types क्रमशः: equilateral, scalene, isosceles right, right scalene, equilateral, isosceles right, isosceles.
Q15: 1/AC + 1/BC = 1/a, independent of t.
Q16: Third vertex = (0,2sqrt(3)) or (3,-sqrt(3)).
Q17-Q29 को भी इसी paper-style में next pass में add किया जाएगा.
Exercise 7.2
Question 1
निम्नलिखित बिन्दु-युग्मों के बीच की दुरी ज्ञांत करें।
(i) (0,0) , (-5,12)
(ii) (4,5) , (-3,2)
(iii) (5,-12) , (9,-9)
(iv) (-3,4) , (3,0)
(v) (2,3) , (4,1)
(vi) (a,b) , (-a,-b)
Sol :
Question 2
जाँच करें कि बिन्दुएँ (1,-1),(-5,7) और (2,5) बिन्दु (-2,3) से समदूरस्थ हैं या नहीं ।
Sol :
Question 3
(i) a का मान ज्ञात करें यदि (a, 2) और (3,4) के बीच की दूरी 8 है ।
(ii) 10 इकाई लम्बाई की रेखा का एक अंत बिन्दु (-2,3) है । यदि दूसरे अन्त बिन्दु का कोटि 9 है तो सिद्ध करें कि दूसरे छोर (अन्त बिन्दु) का भुज 6 या -10 है।
(iii) y का मान ज्ञात करें जिसके लिए बिन्दुओं P(2,-3) और Q(10, y)$ के बीच की दूरी 10 इकाई है।
Sol :
Question 4
निम्न बिन्दुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें :
(i) $\left(a t_{1}^{2}, 2 a t_{1}\right)$ और $\left(a t_{2}^{2}, 2 a t_{2}\right)$
(ii) (a-b, b-a) और (a+b, a+b)
(iii) $(\cos \theta, \sin \theta)$ और $(\sin \theta, \cos \theta)$
Sol :
Question 5
x-अक्ष पर उस बिन्दु को ज्ञात करें जो निम्न बिन्दु-युग्मों से समदूरस्थ है ?
(i) (7,6) और (-3,4) (ii) (3,2) और (-5,-2) (iii) (2,-5) और (-2,9)
Sol :
Question 6
(i) y-अक्ष पर बिन्दुओं (-5,-2) और (3,2) से समदूरस्थ बिन्दु ज्ञात करें ।
(ii) y-अक्ष पर उस बिन्दु को ज्ञात करें जो बिन्दुओं A(6,5) और B(-4,3) से समदूरस्थ है ।
Sol :
Question 7
दूरी-सूत्र का प्रयोग करते हुए जाँच करें कि क्या निम्नलिखित बिन्दुओं के समूह संरेखी हैं ?
(i) (3,5),(1,1),(-2,-5)
(ii) (5,1),(1,-1),(11,4)
(iii) (0,0),(9,6),(3,2)
(iv) (1,5),(2,3),(-2,-11)
Sol :
Question 8
यदि A=(6,1), B=(1,3), C=(x, 8), तो x का मान ज्ञात करें जिससे AB=BC हो ।
Sol :
Question 9
सिद्ध करें कि बिन्दुओं (a+r cos θ, b+r sin θ) और (a, b) के बीच की दूरी θ से मुक्त है ।
Sol :
Question 10
(i) दूरी-सूत्र का प्रयोग करके सिद्ध करें कि बिन्दुओं $\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta, 0\right),\left(0, \sec ^{2} \theta\right)$ और (1,1) सरीखी हैं।
(ii) दूरी-सूत्र का प्रयोग करते हुए सिद्ध करें कि (3,3) उस वृत्त का केन्द्र है जो बिन्दुओं (6,2),(0,4) और (4,6) से जाती है । वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।
Sol :
Question 11
(i) यदि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (2,3) और (6,-1) से समदूरस्थ है तो x और y में संबंध ज्ञात करें ।
(ii) x और y में संबंध ज्ञात करें इस प्रकार कि (x, y) बिन्दुओं (7,1) और (3,5) से समदूरस्थ है ।
Sol :
Question 12
(i) यदि P(x, y) की दूरी बिन्दु A(3,6) और B(-3,4) से समान है, तो सिद्ध करें कि 3x+y=5.
(ii) यदि बिन्दु P(x, y), बिन्दुओं (a+b, b-a) और (a-b, a+b) से समदूरस्थ है, तो सिद्ध करें कि
$\frac{a-b}{a+b}=\frac{x-y}{x+y}$
Sol :
Question 13
सिद्ध करें कि बिन्दु (3,4),(8,-6) और (13,9) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं ।
Sol :
Question 14
निम्नलिखित त्रिभुजों के प्रकार (समद्विबाहु, समकोण, समद्विबाहु समकोण, विषमबाहु) ज्ञात करें जिनके शीर्ष निम्नांकित हैं।
(i) (1,1)$(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$,(-1,-1)
(ii) (0,2),(7,0),(2,5)
(iii) (-2,5),(7,10),(3,-4)
(iv) (4,4),(3,5),(-1,-1)
(v) $(1,2 \sqrt{3})$,(3,0),(-1,0)
(vi) (0,6),(-5,3),(3,1)
(vii) (5,-2),(6,4),(7,-2)
Sol :
Question 15
यदि $\left(a t^{2}, 2 a t\right), \mathrm{B}\left(\frac{a}{t^{2}}, \frac{2 a}{t}\right)$ और C(a, 0) तोन बिन्दुएँ हैं, तो सिद्ध करें कि $\frac{1}{\mathrm{AC}}+\frac{1}{\mathrm{BC}} t$ से मुक्त है।
Sol :
Question 16
यदि किसी समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0,0) और $(3, \sqrt{3})$ हो तो उसका तीसरा शीर्ष ज्ञात करें।
Sol :
Question 17
(i) एक त्रिभुज के शीर्ष (-2,3),(2,-1) और (4,0) हैं। इसका परिकेन्द्र और परित्रिज्या ज्ञात करें
(ii) बिन्दुओं (6,-6),(3,-7) और (3,3) से गुजरनेवाली वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें ।
Sol :
Question 18
यदि A(a, b) और B(c,d) को मिलानेवाली रेखाखण्ड मूल बिन्दु पर समकोण बनाती है तो सिद्ध करें कि ac+bd=0
Sol :
Question 19
एक वृत्त का केन्द्र (2x-1, 3x+1) और त्रिज्या 10 इकाई है । यदि वृत्त बिन्दु (-3,-1) से होकर जाती है, तो x का मान ज्ञात करें।
Sol :
Question 20
(i) सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (4,3),(6,4),(5,6) और (3,5) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
(ii) सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (1,7),(4,2),(-1,-1) और (-4,4) एक वर्ग के शीर्ष हैं ।
Sol :
Question 21
सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (3,2),(6,3),(7,6) और (4,5) एक समानान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं ? क्या यह एक आयत है ?
Sol :
Question 22
सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (6,8),(3,7),(-2,-2),(1,-1) एक समानान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Sol :
Question 23
सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (4,8),(0,2),(3,0) और (7,6) एक आयत के शीर्ष हैं।
Sol :
Question 24
दर्शाएँ कि बिन्दुएँ A(1,0), B(5,3), C(2,7) और D(-2,4) एक समचतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Sol :
Question 25
निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बननेवाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है, तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए ।
(i) (4,5),(7,6),(4,3),(1,2)
(ii) (-1,-2),(1,0),(-1,2),(-3,0)
(iii) (-3,5),(3,1),(0,3),(-1,-4)
Sol :
Question 26
एक वर्ग के सम्मुख शीर्ष (-1,2) और (3,2) हैं, तो अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Sol :
Type-II : मूल बिन्दुओं एवं अक्षों के उपयुक्त चयन करते हुए ज्यामितीय परिणामों को प्रमाणित करने पर आधारित प्रश्न :
Question 27
यदि ABCD एक आयत है और P आयत के तल में एक बिन्दु है, तब सिद्ध करें कि
$\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{PC}^{2}=\mathrm{PB}^{2}+\mathrm{PD}^{2}$
Sol :
Question 28
निर्देशांक का प्रयोग करते हुए सिद्ध करें कि आयत के विकर्ण समान होते हैं।
Sol :
Question 29
निर्देशांक का प्रयोग करते हुए सिद्ध करें कि किसी आयत के विकर्णों पर के वर्गों का योग उसकी भुजाओं पर के वर्गों के योग के बराबर होता है।
Sol :